Tiesės ir plokštumos erdvėje

Atstumas nuo taško iki plokštumos yra statmens ilgis. Statmuo, pasviroji ir pasvirosios projekcija sudaro statųjį trikampį, kuriame pasviroji yra įžambinė. Taikykite Pitagoro teoremą: jei pasvirosios ilgis yra l, o projekcijos – p, tai atstumas h = √(l² − p²).

Kampas tarp dviejų plokštumų lygus smailiajam kampui tarp jų normalės vektorių. Taikykite formulę cos α = |n₁ · n₂| / (|n₁||n₂|): apskaičiuokite skaliarinę sandaugą ir abiejų vektorių ilgius.

Lygiagrečių plokštumų normalės proporcingos. Palyginkite y ir z koeficientus, raskite bendrą daugiklį ir pritaikykite jį x koeficientui. Patikrinkite, kad laisvieji nariai nėra proporcingi tuo pačiu santykiu.

Įstatykite tiesės koordinates į plokštumos lygtį. Vienas t sprendinys reiškia vieną bendrą tašką, prieštaringa lygybė — nė vieno, o tapatybė — kad visa tiesė priklauso plokštumai.

Trys vienoje tiesėje nesantys taškai apibrėžia vieną plokštumą. Tiesė gali jai priklausyti, kirsti viename taške arba neturėti bendrų taškų ir būti lygiagreti. Jei tiesė nepriklauso plokštumai ir lygiagreti jos tiesei, ji lygiagreti plokštumai.

Lygiagrečių plokštumų Ax + By + Cz + D₁ = 0 ir Ax + By + Cz + D₂ = 0 atstumas yra |D₂ − D₁| / √(A² + B² + C²).

Tiesė statmena plokštumai, jei ji statmena dviem susikertančioms plokštumos tiesėms jų susikirtimo taške. Statmenumo vienai tiesei nepakanka.

Trys vienoje tiesėje nesantys taškai apibrėžia vieną plokštumą. Tiesė gali jai priklausyti, kirsti viename taške arba neturėti bendrų taškų ir būti lygiagreti. Jei tiesė nepriklauso plokštumai ir lygiagreti jos tiesei, ji lygiagreti plokštumai.

Pasviroji, jos statmenoji projekcija ir statmuo į plokštumą sudaro statųjį trikampį. Pirmiausia pagal Pitagoro teoremą raskite statmens ilgį. Kampo tarp pasvirosios ir plokštumos sinusas lygus statmens ilgiui, padalytam iš pasvirosios ilgio.

Prasilenkiančios tiesės nesikerta ir nėra lygiagrečios; jos neguli vienoje plokštumoje. Vienoje plokštumoje nesikertančios tiesės būtų lygiagrečios.