Pasiruošimas matematikos olimpiadai

Sudėję A, B ir C dydžius, mokinius iš dviejų laboratorijų suskaičiuojame du kartus, o iš trijų – tris kartus. Iš sumos du kartus atimkite visų porinių sankirtų dydžius. Tada visų trijų laboratorijų mokiniai bus atimti per daug, todėl tris kartus pridėkite trigubos sankirtos dydį. Formulė: A + B + C − 2(AB + AC + BC) + 3ABC.

Kiekviename trumpiausiame maršrute dešiniųjų ir aukštyn vedančių žingsnių skaičius yra iš anksto nustatytas. Užrašykite visus žingsnius viena eile ir pasirinkite, kuriose vietose bus vienos krypties žingsniai. Pasirinkimų skaičius apskaičiuojamas formule n! / (k!(n − k)!).

Pažiūrėkite į kairįjį lentos kraštą. Jį galima uždengti vienu stačiu domino, paliekant 2 × (n − 1) lentą, arba dviem gulsčiais domino, paliekant 2 × (n − 2) lentą. Todėl būdų skaičius tenkina taisyklę F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), kai F(1) = 1 ir F(2) = 2.

Pirmasis pjūvis prideda 1 naują dalį. Kiekvienas kitas pjūvis, kirsdamas visus ankstesnius skirtinguose taškuose, padalijamas į tiek atkarpų, kiek yra ankstesnių pjūvių, ir dar vieną. Todėl naujų dalių skaičiai yra 1, 2, 3 ir t. t. Prie pradinės vienos dalies pridėkite 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2.

Skaičius dalijasi iš 9, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9. Sudėkite visus matomus skaitmenis. Tada raskite tokį skaitmenį nuo 0 iki 9, kurį pridėjus gaunamas artimiausias 9 kartotinis.

Pirmiausia apskaičiuokite visos išorinės stačiakampės plokštės plotą: ilgį padauginkite iš pločio. Tada apskaičiuokite išpjauto stačiakampio plotą. Iš viso ploto atimkite išpjautos dalies plotą.

Robotus A ir B laikinai sujunkite į vieną bloką. Šį bloką ir kiekvieną likusį robotą laikykite atskirais objektais ir suskaičiuokite, kiek būdų yra juos sustatyti į eilę. Tada atsižvelkite į tai, kad bloko viduje galima tvarka A–B arba B–A.

Po nuolaidos lieka 100 % − p % pradinės kainos. Užrašykite likusią procentinę dalį dešimtainiu skaičiumi ir galutinę kainą padalykite iš šios dalies. Nuolaidos sumos prie galutinės kainos tiesiog pridėti negalima, nes procentas skaičiuotas nuo pradinės kainos.

Kiekviename daliklyje pirmojo pirminio skaičiaus laipsnio rodiklį galima pasirinkti nuo 0 iki a – iš viso a + 1 pasirinkimų. Antrojo rodiklį galima pasirinkti nuo 0 iki b – iš viso b + 1 pasirinkimų. Pasirinkimai nepriklausomi, todėl jų kiekius sudauginkite: (a + 1)(b + 1).

Einant aplink bet kurį iškilą daugiakampį, visų išorinių kampų suma yra 360°. Taisyklingojo daugiakampio išoriniai kampai lygūs, todėl 360° padalykite iš vieno išorinio kampo dydžio.

Ieškome skaičiaus n, kuriam n(n + 1) lygu duotai sandaugai. Sandaugos kvadratinė šaknis yra tarp dviejų ieškomų skaičių, todėl įvertinkite ją, pasirinkite artimiausią mažesnį sveikąjį skaičių ir patikrinkite padauginę jį iš kito skaičiaus.

Vienu ėjimu „+“ kortelių skaičius pasikeičia −2, 0 arba +2, todėl jo lyginumas nekinta. Palyginkite pradinio „+“ kortelių skaičiaus lyginumą su galutinėmis galimybėmis: visos „−“ reiškia 0 „+“, o visos „+“ – tiek „+“, kiek yra kortelių. Jei bent vienos galutinės būsenos lyginumas sutampa, ją galima pasiekti.

Pirmiausia suskaičiuokite visus trumpiausius maršrutus: iš visų žingsnių vietų pasirinkite, kuriose bus žingsniai į dešinę. Tada suskaičiuokite draudžiamus maršrutus per pažymėtą tašką. Jų skaičius lygus maršrutų iki draudžiamo taško ir maršrutų nuo jo iki pabaigos skaičių sandaugai. Iš visų maršrutų atimkite draudžiamus.

Tarkite paeiliui, kad prizas yra kiekvienoje iš trijų dėžių. Kiekvienu atveju patikrinkite visus užrašus ir suskaičiuokite teisingus. Palikite tik sąlygą atitinkantį atvejį.

Kiekvienos rungtynės atitinka vieną skirtingų komandų porą. Jei komandų skaičius yra n, pirmoji gali būti suporuota su n − 1 kitų, tačiau taip kiekviena pora būtų suskaičiuota du kartus. Todėl skaičiuokite n(n − 1) / 2.

Trupmenas galima palyginti nesuskaičiuojant jų dešimtainių reikšmių. Jei lyginame ^a⁄_b ir ^c⁄_d, palyginkite sandaugas a · d ir c · b. Didesnė kryžminė sandauga rodo didesnę trupmeną.

Patikrinkite kiekvieną rinkinio skaičių: padalykite jį iš nurodyto daliklio arba pritaikykite dalumo požymį. Rinkinys tinka tik tada, kai nė vienas jo skaičius neduoda liekanos.

Senoji visų rezultatų suma lygi vidurkis · rezultatų skaičius. Tačiau visos sumos iš naujo skaičiuoti nebūtina: raskite, kiek padidėjo arba sumažėjo pakeistas rezultatas, ir šį pokytį padalykite iš rezultatų skaičiaus. Gautą vidurkio pokytį pridėkite prie senojo vidurkio.

Svarelis kitoje lėkštelėje didina atsvarą, o svarelis vienoje lėkštelėje su daiktu sumažina reikalingą atsvarą. Ieškokite lygybės: daikto masė + svareliai su daiktu = svareliai kitoje pusėje. Patikrinkite pasirinkimą sudėdami abi puses.

Pradėkite nuo vienos daugiakampio srities. Kiekviena kraštinė ir įstrižainė siejasi su viršūnių pora, o kiekvienas vidinis dviejų įstrižainių susikirtimas – su keturiomis pasirinktomis viršūnėmis. Galutinis sričių skaičius yra C(n, 4) + C(n, 2) − n + 1.