Pasiruošimas matematikos olimpiadai

Svarelis kitoje lėkštelėje didina atsvarą, o svarelis vienoje lėkštelėje su daiktu sumažina reikalingą atsvarą. Ieškokite lygybės: daikto masė + svareliai su daiktu = svareliai kitoje pusėje. Patikrinkite pasirinkimą sudėdami abi puses.

Patikrinkite kiekvieną rinkinio skaičių: padalykite jį iš nurodyto daliklio arba pritaikykite dalumo požymį. Rinkinys tinka tik tada, kai nė vienas jo skaičius neduoda liekanos.

Einant aplink bet kurį iškilą daugiakampį, visų išorinių kampų suma yra 360°. Taisyklingojo daugiakampio išoriniai kampai lygūs, todėl 360° padalykite iš vieno išorinio kampo dydžio.

Pirmajai plokštelei tinka bet kuri spalva. Kiekvienai kitai tinka visos spalvos, išskyrus prieš ją esančios plokštelės spalvą. Todėl, jei yra k spalvų ir n vietų, skaičiuokite k · (k − 1)^{n − 1}.

Sudėję A, B ir C dydžius, mokinius iš dviejų laboratorijų suskaičiuojame du kartus, o iš trijų – tris kartus. Iš sumos du kartus atimkite visų porinių sankirtų dydžius. Tada visų trijų laboratorijų mokiniai bus atimti per daug, todėl tris kartus pridėkite trigubos sankirtos dydį. Formulė: A + B + C − 2(AB + AC + BC) + 3ABC.

Vienu ėjimu „+“ kortelių skaičius pasikeičia −2, 0 arba +2, todėl jo lyginumas nekinta. Palyginkite pradinio „+“ kortelių skaičiaus lyginumą su galutinėmis galimybėmis: visos „−“ reiškia 0 „+“, o visos „+“ – tiek „+“, kiek yra kortelių. Jei bent vienos galutinės būsenos lyginumas sutampa, ją galima pasiekti.

Vienu judėjimu stotelės numeris padidėja nurodytu žingsniu. Prie pradinės padėties pridėkite visų žingsnių skaičių. Kadangi maršrutas žiedinis, rezultatą dalykite iš stotelių skaičiaus ir naudokite liekaną. Nulinė liekana reiškia paskutinę stotelę.

Raskite kiekių skirtumą. Perkėlus vieną elementą iš didesnės krūvos į mažesnę, skirtumas sumažėja dviem: vienoje pusėje lieka vienu mažiau, kitoje atsiranda vienu daugiau. Todėl pradinį skirtumą padalykite iš 2.

Pirmiausia suskaičiuokite visus trumpiausius maršrutus: iš visų žingsnių vietų pasirinkite, kuriose bus žingsniai į dešinę. Tada suskaičiuokite draudžiamus maršrutus per pažymėtą tašką. Jų skaičius lygus maršrutų iki draudžiamo taško ir maršrutų nuo jo iki pabaigos skaičių sandaugai. Iš visų maršrutų atimkite draudžiamus.

Pirmiausia apskaičiuokite visos išorinės stačiakampės plokštės plotą: ilgį padauginkite iš pločio. Tada apskaičiuokite išpjauto stačiakampio plotą. Iš viso ploto atimkite išpjautos dalies plotą.

Pažiūrėkite į kairįjį lentos kraštą. Jį galima uždengti vienu stačiu domino, paliekant 2 × (n − 1) lentą, arba dviem gulsčiais domino, paliekant 2 × (n − 2) lentą. Todėl būdų skaičius tenkina taisyklę F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), kai F(1) = 1 ir F(2) = 2.

Ieškome skaičiaus n, kuriam n(n + 1) lygu duotai sandaugai. Sandaugos kvadratinė šaknis yra tarp dviejų ieškomų skaičių, todėl įvertinkite ją, pasirinkite artimiausią mažesnį sveikąjį skaičių ir patikrinkite padauginę jį iš kito skaičiaus.

Atskirai suskaičiuokite 1 × 1 kvadratus ir 2 × 2 kvadratus. Dviejų eilučių juostoje didesnių kvadratų būti negali. Sudėkite abiejų dydžių kvadratų kiekius.

Kiekvienos rungtynės atitinka vieną skirtingų komandų porą. Jei komandų skaičius yra n, pirmoji gali būti suporuota su n − 1 kitų, tačiau taip kiekviena pora būtų suskaičiuota du kartus. Todėl skaičiuokite n(n − 1) / 2.

Vieno pilno ciklo trukmė lygi darbo ir įkrovimo laikų sumai. Visą turimą laiką padalykite iš vieno ciklo trukmės. Atsakymui imkite tik sveikąją dalį, nes nebaigtas ciklas neskaičiuojamas.

Užrašykite galimas poras (pirmo suktuko skaičius; antro suktuko skaičius). Pirmą skaičių didinkite po vieną, o antrą parinkite taip, kad suma nesikeistų. Skaičiuokite tik poras, kurių abu skaičiai patenka į nurodytą intervalą. Kadangi suktukai skirtingi, sukeista pora yra kitas rezultatas.

Trupmenos skaitiklis yra nuspalvintų langelių skaičius, o vardiklis – visų vienodų langelių skaičius. Abu skaičius padalykite iš jų didžiausio bendro daliklio.

Senoji visų rezultatų suma lygi vidurkis · rezultatų skaičius. Tačiau visos sumos iš naujo skaičiuoti nebūtina: raskite, kiek padidėjo arba sumažėjo pakeistas rezultatas, ir šį pokytį padalykite iš rezultatų skaičiaus. Gautą vidurkio pokytį pridėkite prie senojo vidurkio.

Trupmenas galima palyginti nesuskaičiuojant jų dešimtainių reikšmių. Jei lyginame ^a⁄_b ir ^c⁄_d, palyginkite sandaugas a · d ir c · b. Didesnė kryžminė sandauga rodo didesnę trupmeną.

Kiekvieną stačiakampį nusako dvi pasirinktos vertikalios ir dvi horizontalios tinklelio linijos. Jei yra v vertikalių ir h horizontalių linijų, atsakymas lygus pasirinkimų skaičių sandaugai: v(v − 1) / 2 · h(h − 1) / 2.