Pasiruošimas matematikos olimpiadai

Vienu judėjimu stotelės numeris padidėja nurodytu žingsniu. Prie pradinės padėties pridėkite visų žingsnių skaičių. Kadangi maršrutas žiedinis, rezultatą dalykite iš stotelių skaičiaus ir naudokite liekaną. Nulinė liekana reiškia paskutinę stotelę.

Kiekviename trumpiausiame maršrute dešiniųjų ir aukštyn vedančių žingsnių skaičius yra iš anksto nustatytas. Užrašykite visus žingsnius viena eile ir pasirinkite, kuriose vietose bus vienos krypties žingsniai. Pasirinkimų skaičius apskaičiuojamas formule n! / (k!(n − k)!).

Pirmasis pjūvis prideda 1 naują dalį. Kiekvienas kitas pjūvis, kirsdamas visus ankstesnius skirtinguose taškuose, padalijamas į tiek atkarpų, kiek yra ankstesnių pjūvių, ir dar vieną. Todėl naujų dalių skaičiai yra 1, 2, 3 ir t. t. Prie pradinės vienos dalies pridėkite 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2.

Dviženklį skaičių su dešimčių skaitmeniu a ir vienetų skaitmeniu b galima užrašyti kaip 10a + b, o apverstą – kaip 10b + a. Jų skirtumas yra 9(a − b). Skaičių skirtumą padalykite iš 9.

Kiekvienos rungtynės atitinka vieną skirtingų komandų porą. Jei komandų skaičius yra n, pirmoji gali būti suporuota su n − 1 kitų, tačiau taip kiekviena pora būtų suskaičiuota du kartus. Todėl skaičiuokite n(n − 1) / 2.

Trupmenas galima palyginti nesuskaičiuojant jų dešimtainių reikšmių. Jei lyginame ^a⁄_b ir ^c⁄_d, palyginkite sandaugas a · d ir c · b. Didesnė kryžminė sandauga rodo didesnę trupmeną.

Pirmajai plokštelei tinka bet kuri spalva. Kiekvienai kitai tinka visos spalvos, išskyrus prieš ją esančios plokštelės spalvą. Todėl, jei yra k spalvų ir n vietų, skaičiuokite k · (k − 1)^{n − 1}.

Vienu ėjimu „+“ kortelių skaičius pasikeičia −2, 0 arba +2, todėl jo lyginumas nekinta. Palyginkite pradinio „+“ kortelių skaičiaus lyginumą su galutinėmis galimybėmis: visos „−“ reiškia 0 „+“, o visos „+“ – tiek „+“, kiek yra kortelių. Jei bent vienos galutinės būsenos lyginumas sutampa, ją galima pasiekti.

Atskirai suskaičiuokite 1 × 1 kvadratus ir 2 × 2 kvadratus. Dviejų eilučių juostoje didesnių kvadratų būti negali. Sudėkite abiejų dydžių kvadratų kiekius.

Vieno pilno ciklo trukmė lygi darbo ir įkrovimo laikų sumai. Visą turimą laiką padalykite iš vieno ciklo trukmės. Atsakymui imkite tik sveikąją dalį, nes nebaigtas ciklas neskaičiuojamas.

Suskaičiuokite nurodyto intervalo skaičius, kurie dalijasi iš pirmojo arba antrojo žingsnio, bet ne iš abiejų. Abiejų robotų paliesti šviestuvai perjungiami du kartus ir vėl lieka išjungti. Todėl iš abiejų atskirų kiekių sumos du kartus atimkite bendrų kartotinių kiekį.

Iš lygybės gauname y = suma − x. Sąlyga y ≤ nustatytos ribos duoda papildomą apatinę ribą skaičiui x. Palyginkite ją su jau duota x riba ir iš eilės suskaičiuokite visas leistinas sveikąsias x reikšmes iki pat sumos. Kiekviena x reikšmė nustato tik vieną y.

Ieškome skaičiaus n, kuriam n(n + 1) lygu duotai sandaugai. Sandaugos kvadratinė šaknis yra tarp dviejų ieškomų skaičių, todėl įvertinkite ją, pasirinkite artimiausią mažesnį sveikąjį skaičių ir patikrinkite padauginę jį iš kito skaičiaus.

Galima sudėti visų kvadratų kraštines ir panaikinti vidines bendras kraštines: kiekviena bendra kraštinė iš pradinės sumos atimama du kartus. Kitas būdas – nuosekliai apeiti tik išorinį figūros kontūrą ir suskaičiuoti jo vienetines atkarpas.

Robotus A ir B laikinai sujunkite į vieną bloką. Šį bloką ir kiekvieną likusį robotą laikykite atskirais objektais ir suskaičiuokite, kiek būdų yra juos sustatyti į eilę. Tada atsižvelkite į tai, kad bloko viduje galima tvarka A–B arba B–A.

Kiekvieną stačiakampį nusako dvi pasirinktos vertikalios ir dvi horizontalios tinklelio linijos. Jei yra v vertikalių ir h horizontalių linijų, atsakymas lygus pasirinkimų skaičių sandaugai: v(v − 1) / 2 · h(h − 1) / 2.

Patikrinkite kiekvieną rinkinio skaičių: padalykite jį iš nurodyto daliklio arba pritaikykite dalumo požymį. Rinkinys tinka tik tada, kai nė vienas jo skaičius neduoda liekanos.

Senoji visų rezultatų suma lygi vidurkis · rezultatų skaičius. Tačiau visos sumos iš naujo skaičiuoti nebūtina: raskite, kiek padidėjo arba sumažėjo pakeistas rezultatas, ir šį pokytį padalykite iš rezultatų skaičiaus. Gautą vidurkio pokytį pridėkite prie senojo vidurkio.

Tarkite paeiliui, kad prizas yra kiekvienoje iš trijų dėžių. Kiekvienu atveju patikrinkite visus užrašus ir suskaičiuokite teisingus. Palikite tik sąlygą atitinkantį atvejį.

Pirmiausia suskaičiuokite visus trumpiausius maršrutus: iš visų žingsnių vietų pasirinkite, kuriose bus žingsniai į dešinę. Tada suskaičiuokite draudžiamus maršrutus per pažymėtą tašką. Jų skaičius lygus maršrutų iki draudžiamo taško ir maršrutų nuo jo iki pabaigos skaičių sandaugai. Iš visų maršrutų atimkite draudžiamus.