Pasiruošimas matematikos olimpiadai

Iš kiekvienos viršūnės galima nubrėžti atkarpas į visas kitas viršūnes, išskyrus ją pačią ir dvi gretimas viršūnes, taigi lieka n − 3 įstrižainės. Taip kiekviena įstrižainė suskaičiuojama iš abiejų galų, todėl rezultatą dalykite iš 2: n(n − 3) / 2.

Pagal trikampio kampų sumą raskite kampą A ir jo pusę. Stačiajame trikampyje ABH raskite kampą BAH. Palyginkite kampus BAD ir BAH: jų skirtumas yra ieškomas kampas.

Nuosekliai rinkitės 5 € monetų skaičių nuo 0 iki didžiausio galimo. Kiekvienu atveju patikrinkite, ar likusią sumą galima padalyti iš 2 be liekanos. Kiekvienas toks pasirinkimas duoda vieną skirtingą mokėjimo būdą.

Vieno pilno ciklo trukmė lygi darbo ir įkrovimo laikų sumai. Visą turimą laiką padalykite iš vieno ciklo trukmės. Atsakymui imkite tik sveikąją dalį, nes nebaigtas ciklas neskaičiuojamas.

Pažymėkite pasirinktų vietų numerius didėjimo tvarka. Tarp kiekvienų dviejų pasirinktų vietų turi likti bent viena tuščia. Mintyse pašalinkite po vieną privalomą tarpą po pirmųjų k − 1 pasirinkimų. Tada lieka pasirinkti k vietų iš n − k + 1, todėl atsakymas yra C(n − k + 1, k).

Suskaičiuokite nurodyto intervalo skaičius, kurie dalijasi iš pirmojo arba antrojo žingsnio, bet ne iš abiejų. Abiejų robotų paliesti šviestuvai perjungiami du kartus ir vėl lieka išjungti. Todėl iš abiejų atskirų kiekių sumos du kartus atimkite bendrų kartotinių kiekį.

Lygiai dvi nudažytas sienas turi kubeliai, esantys ant didžiojo kubo briaunų, bet ne kampuose. Kiekvienoje iš 12 briaunų tokių kubelių yra n − 2. Todėl skaičiuokite 12(n − 2).

Užrašykite galimas poras (pirmo suktuko skaičius; antro suktuko skaičius). Pirmą skaičių didinkite po vieną, o antrą parinkite taip, kad suma nesikeistų. Skaičiuokite tik poras, kurių abu skaičiai patenka į nurodytą intervalą. Kadangi suktukai skirtingi, sukeista pora yra kitas rezultatas.

Kiekvieną stačiakampį nusako dvi pasirinktos vertikalios ir dvi horizontalios tinklelio linijos. Jei yra v vertikalių ir h horizontalių linijų, atsakymas lygus pasirinkimų skaičių sandaugai: v(v − 1) / 2 · h(h − 1) / 2.

Ieškome skaičiaus n, kuriam n(n + 1) lygu duotai sandaugai. Sandaugos kvadratinė šaknis yra tarp dviejų ieškomų skaičių, todėl įvertinkite ją, pasirinkite artimiausią mažesnį sveikąjį skaičių ir patikrinkite padauginę jį iš kito skaičiaus.