Pasiruošimas matematikos olimpiadai

Ieškome skaičiaus n, kuriam n(n + 1) lygu duotai sandaugai. Sandaugos kvadratinė šaknis yra tarp dviejų ieškomų skaičių, todėl įvertinkite ją, pasirinkite artimiausią mažesnį sveikąjį skaičių ir patikrinkite padauginę jį iš kito skaičiaus.

Svarelis kitoje lėkštelėje didina atsvarą, o svarelis vienoje lėkštelėje su daiktu sumažina reikalingą atsvarą. Ieškokite lygybės: daikto masė + svareliai su daiktu = svareliai kitoje pusėje. Patikrinkite pasirinkimą sudėdami abi puses.

Suskaičiuokite nurodyto intervalo skaičius, kurie dalijasi iš pirmojo arba antrojo žingsnio, bet ne iš abiejų. Abiejų robotų paliesti šviestuvai perjungiami du kartus ir vėl lieka išjungti. Todėl iš abiejų atskirų kiekių sumos du kartus atimkite bendrų kartotinių kiekį.

Atskirai suskaičiuokite vienaženklius ir dviženklius puslapių numerius. Puslapiams nuo 1 iki 9 reikia 9 skaitmenų. Kiekvienam puslapiui nuo 10 iki paskutinio reikia po 2 skaitmenis. Abu kiekius sudėkite.

Sąlygas paverskite rodyklėmis nuo anksčiau finišavusio drono į vėliau finišavusį. Sujunkite visas rodykles į vieną penkių dronų eilę. Trečiasis eilėje yra ieškomas dronas.

Vieno pilno ciklo trukmė lygi darbo ir įkrovimo laikų sumai. Visą turimą laiką padalykite iš vieno ciklo trukmės. Atsakymui imkite tik sveikąją dalį, nes nebaigtas ciklas neskaičiuojamas.

Lygiai dvi nudažytas sienas turi kubeliai, esantys ant didžiojo kubo briaunų, bet ne kampuose. Kiekvienoje iš 12 briaunų tokių kubelių yra n − 2. Todėl skaičiuokite 12(n − 2).

Pusiaukraštinių susikirtimo taškas dalija pusiaukraštinę santykiu 2 : 1, skaičiuojant nuo viršūnės. Nustatykite, kuri atkarpa atitinka vieną santykio dalį.

Nuosekliai rinkitės 5 € monetų skaičių nuo 0 iki didžiausio galimo. Kiekvienu atveju patikrinkite, ar likusią sumą galima padalyti iš 2 be liekanos. Kiekvienas toks pasirinkimas duoda vieną skirtingą mokėjimo būdą.

Kiekvieną stačiakampį nusako dvi pasirinktos vertikalios ir dvi horizontalios tinklelio linijos. Jei yra v vertikalių ir h horizontalių linijų, atsakymas lygus pasirinkimų skaičių sandaugai: v(v − 1) / 2 · h(h − 1) / 2.

Iš kiekvienos viršūnės galima nubrėžti atkarpas į visas kitas viršūnes, išskyrus ją pačią ir dvi gretimas viršūnes, taigi lieka n − 3 įstrižainės. Taip kiekviena įstrižainė suskaičiuojama iš abiejų galų, todėl rezultatą dalykite iš 2: n(n − 3) / 2.

Pažymėkite pasirinktų vietų numerius didėjimo tvarka. Tarp kiekvienų dviejų pasirinktų vietų turi likti bent viena tuščia. Mintyse pašalinkite po vieną privalomą tarpą po pirmųjų k − 1 pasirinkimų. Tada lieka pasirinkti k vietų iš n − k + 1, todėl atsakymas yra C(n − k + 1, k).

Senoji visų rezultatų suma lygi vidurkis · rezultatų skaičius. Tačiau visos sumos iš naujo skaičiuoti nebūtina: raskite, kiek padidėjo arba sumažėjo pakeistas rezultatas, ir šį pokytį padalykite iš rezultatų skaičiaus. Gautą vidurkio pokytį pridėkite prie senojo vidurkio.

Palindromą visiškai nustato pirmoji jo pusė, įskaitant vidurinį skaitmenį, kai ilgis nelyginis. Pirmajam skaitmeniui turime d pasirinkimų, nes 0 netinka. Kiekvienai likusiai laisvai vietai tinka visi d + 1 skaitmenys. Antroji kodo pusė jau nustatoma atspindžiu.

Galima sudėti visų kvadratų kraštines ir panaikinti vidines bendras kraštines: kiekviena bendra kraštinė iš pradinės sumos atimama du kartus. Kitas būdas – nuosekliai apeiti tik išorinį figūros kontūrą ir suskaičiuoti jo vienetines atkarpas.

Iš pirmojo būrelio skaičiaus atimkite lankančius abu, tada tą patį padarykite su antruoju. Gautus dviejų nesikertančių grupių dydžius sudėkite. Trumpai: A + B − 2 · abu.

Dviženklį skaičių su dešimčių skaitmeniu a ir vienetų skaitmeniu b galima užrašyti kaip 10a + b, o apverstą – kaip 10b + a. Jų skirtumas yra 9(a − b). Skaičių skirtumą padalykite iš 9.

Patogu įsivaizduoti visus skaičius užrašytus vienodu skaitmenų skaičiumi, priekyje prirašant nulius. Kiekvienoje skaitmens vietoje 0, 1, …, 9 pasikartoja vienodai dažnai. Vieno ciklo skaitmenų suma yra 45. Šią sumą padauginkite iš pasikartojimų kiekio kiekvienoje vietoje ir iš skaitmenų vietų skaičiaus.

Kiekvienos rungtynės atitinka vieną skirtingų komandų porą. Jei komandų skaičius yra n, pirmoji gali būti suporuota su n − 1 kitų, tačiau taip kiekviena pora būtų suskaičiuota du kartus. Todėl skaičiuokite n(n − 1) / 2.

Po nuolaidos lieka 100 % − p % pradinės kainos. Užrašykite likusią procentinę dalį dešimtainiu skaičiumi ir galutinę kainą padalykite iš šios dalies. Nuolaidos sumos prie galutinės kainos tiesiog pridėti negalima, nes procentas skaičiuotas nuo pradinės kainos.