Pasiruošimas matematikos olimpiadai

Atskirai suskaičiuokite vienaženklius ir dviženklius puslapių numerius. Puslapiams nuo 1 iki 9 reikia 9 skaitmenų. Kiekvienam puslapiui nuo 10 iki paskutinio reikia po 2 skaitmenis. Abu kiekius sudėkite.

Vieno pilno ciklo trukmė lygi darbo ir įkrovimo laikų sumai. Visą turimą laiką padalykite iš vieno ciklo trukmės. Atsakymui imkite tik sveikąją dalį, nes nebaigtas ciklas neskaičiuojamas.

Atskirai suskaičiuokite 1 × 1 kvadratus ir 2 × 2 kvadratus. Dviejų eilučių juostoje didesnių kvadratų būti negali. Sudėkite abiejų dydžių kvadratų kiekius.

Kiekvienos rungtynės atitinka vieną skirtingų komandų porą. Jei komandų skaičius yra n, pirmoji gali būti suporuota su n − 1 kitų, tačiau taip kiekviena pora būtų suskaičiuota du kartus. Todėl skaičiuokite n(n − 1) / 2.

Kiekvieną stačiakampį nusako dvi pasirinktos vertikalios ir dvi horizontalios tinklelio linijos. Jei yra v vertikalių ir h horizontalių linijų, atsakymas lygus pasirinkimų skaičių sandaugai: v(v − 1) / 2 · h(h − 1) / 2.

Ieškome skaičiaus n, kuriam n(n + 1) lygu duotai sandaugai. Sandaugos kvadratinė šaknis yra tarp dviejų ieškomų skaičių, todėl įvertinkite ją, pasirinkite artimiausią mažesnį sveikąjį skaičių ir patikrinkite padauginę jį iš kito skaičiaus.

Palindromą visiškai nustato pirmoji jo pusė, įskaitant vidurinį skaitmenį, kai ilgis nelyginis. Pirmajam skaitmeniui turime d pasirinkimų, nes 0 netinka. Kiekvienai likusiai laisvai vietai tinka visi d + 1 skaitmenys. Antroji kodo pusė jau nustatoma atspindžiu.

Vienu judėjimu stotelės numeris padidėja nurodytu žingsniu. Prie pradinės padėties pridėkite visų žingsnių skaičių. Kadangi maršrutas žiedinis, rezultatą dalykite iš stotelių skaičiaus ir naudokite liekaną. Nulinė liekana reiškia paskutinę stotelę.

Užrašykite galimas poras (pirmo suktuko skaičius; antro suktuko skaičius). Pirmą skaičių didinkite po vieną, o antrą parinkite taip, kad suma nesikeistų. Skaičiuokite tik poras, kurių abu skaičiai patenka į nurodytą intervalą. Kadangi suktukai skirtingi, sukeista pora yra kitas rezultatas.

Iš pirmojo būrelio skaičiaus atimkite lankančius abu, tada tą patį padarykite su antruoju. Gautus dviejų nesikertančių grupių dydžius sudėkite. Trumpai: A + B − 2 · abu.

Nuosekliai rinkitės 5 € monetų skaičių nuo 0 iki didžiausio galimo. Kiekvienu atveju patikrinkite, ar likusią sumą galima padalyti iš 2 be liekanos. Kiekvienas toks pasirinkimas duoda vieną skirtingą mokėjimo būdą.

Lygiai dvi nudažytas sienas turi kubeliai, esantys ant didžiojo kubo briaunų, bet ne kampuose. Kiekvienoje iš 12 briaunų tokių kubelių yra n − 2. Todėl skaičiuokite 12(n − 2).

Iš kiekvienos viršūnės galima nubrėžti atkarpas į visas kitas viršūnes, išskyrus ją pačią ir dvi gretimas viršūnes, taigi lieka n − 3 įstrižainės. Taip kiekviena įstrižainė suskaičiuojama iš abiejų galų, todėl rezultatą dalykite iš 2: n(n − 3) / 2.

Sąlygas paverskite rodyklėmis nuo anksčiau finišavusio drono į vėliau finišavusį. Sujunkite visas rodykles į vieną penkių dronų eilę. Trečiasis eilėje yra ieškomas dronas.

Raskite kiekių skirtumą. Perkėlus vieną elementą iš didesnės krūvos į mažesnę, skirtumas sumažėja dviem: vienoje pusėje lieka vienu mažiau, kitoje atsiranda vienu daugiau. Todėl pradinį skirtumą padalykite iš 2.

Senoji visų rezultatų suma lygi vidurkis · rezultatų skaičius. Tačiau visos sumos iš naujo skaičiuoti nebūtina: raskite, kiek padidėjo arba sumažėjo pakeistas rezultatas, ir šį pokytį padalykite iš rezultatų skaičiaus. Gautą vidurkio pokytį pridėkite prie senojo vidurkio.

Galima sudėti visų kvadratų kraštines ir panaikinti vidines bendras kraštines: kiekviena bendra kraštinė iš pradinės sumos atimama du kartus. Kitas būdas – nuosekliai apeiti tik išorinį figūros kontūrą ir suskaičiuoti jo vienetines atkarpas.

Patogu įsivaizduoti visus skaičius užrašytus vienodu skaitmenų skaičiumi, priekyje prirašant nulius. Kiekvienoje skaitmens vietoje 0, 1, …, 9 pasikartoja vienodai dažnai. Vieno ciklo skaitmenų suma yra 45. Šią sumą padauginkite iš pasikartojimų kiekio kiekvienoje vietoje ir iš skaitmenų vietų skaičiaus.

Pradėkite nuo skaičių, turinčių pirmąją liekaną: ra, ra + a, ra + 2a ir t. t. Tikrinkite juos iš eilės dalydami iš antrojo daliklio. Pirmasis skaičius, paliekantis ir antrąją nurodytą liekaną, yra mažiausias sprendinys.

Po nuolaidos lieka 100 % − p % pradinės kainos. Užrašykite likusią procentinę dalį dešimtainiu skaičiumi ir galutinę kainą padalykite iš šios dalies. Nuolaidos sumos prie galutinės kainos tiesiog pridėti negalima, nes procentas skaičiuotas nuo pradinės kainos.