Trigonometrinės tapatybės ir lygtys

Užrašykite visus kampus, kurių sinusas lygus nuliui. Tada iš lygybės kx + h° išreikškite x: iš koeficiento dalijamas ir poslinkis, ir periodą nusakantis narys.

Vienetiniame apskritime kampo kosinusas yra taško horizontalioji koordinatė. Tą pačią kosinuso reikšmę paprastai turi du kampai, simetriški horizontaliosios ašies atžvilgiu.

1. Lygtį užrašykite cos x = c. Jei c nepatenka į intervalą [−1; 1], sprendinių nėra.
2. Raskite kampą α = arccos c intervale nuo 0° iki 180°. Galite naudoti žinomas kampų reikšmes arba skaičiuotuvą laipsnių režimu.
3. Intervale [0°; 360°] patikrinkite kampus α ir 360° − α.
4. Palikite visus intervalui priklausančius skirtingus sprendinius. Jei abu kampai sutampa, jo nekartokite; jei gaunate 0° ir 360°, abu intervalo galai įtraukti.

Pasitikrinkite pagal ženklą: teigiamas kosinusas yra dešinėje vienetinio apskritimo pusėje, neigiamas – kairėje, o nulinis – vertikaliosios ašies taškuose.

Nustatykite, ar reikia sinuso, ar kosinuso sumos arba skirtumo formulės. Sinuso formulėje yra mišrios sandaugos; kosinuso formulėje — dviejų kosinusų ir dviejų sinusų sandaugos. Atidžiai patikrinkite ženklą.

Tangento ir kosinuso reikšmes sieja tapatybė 1 + tan²α = 1 / cos²α.

1. Duotą tangento reikšmę pažymėkite t. Pirmiausia apskaičiuokite t², tada pridėkite 1.
2. Pertvarkę tapatybę gausite cos²α = 1 / (1 + t²).
3. Ištraukite kvadratinę šaknį. Kadangi α yra smailusis kampas, jo kosinusas teigiamas, todėl cos α = 1 / √(1 + t²).
4. Apskaičiuokite reikšmę ir tik galutinį rezultatą apvalinkite iki šimtųjų.

Nepainiokite t² su t ir nepraleiskite kvadratinės šaknies. Smailiojo kampo kosinusas turi būti tarp 0 ir 1.

Bendrasis trigonometrinės lygties sprendinys aprašo visas tinkamas kampo reikšmes. Kai užduotyje nurodytas intervalas, reikia atrinkti tik jam priklausančius sprendinius.

1. Užrašykite visas bendrojo sprendinio šakas. Kiekvienoje jų parametras k yra sveikasis skaičius; jis gali būti neigiamas, nulis arba teigiamas.
2. Kiekvieną šaką įrašykite į intervalo nelygybę. Pavyzdžiui, jei šaka yra x = α + T · k, kur T > 0, o intervalas [a; b], spręskite a ≤ α + T · k ≤ b.
3. Išskyrę k gausite (a − α) / T ≤ k ≤ (b − α) / T. Iš šių ribų pasirinkite visas sveikąsias k reikšmes ir įstatykite jas į sprendinio formulę.
4. Patikrinkite intervalo galus: laužtinis skliaustas reiškia, kad galas įtrauktas, apvalusis – kad neįtrauktas. Atviram galui naudokite griežtą nelygybę.
5. Sujunkite visų šakų rezultatus, pašalinkite pasikartojančias reikšmes ir patikrinkite, ar likę kampai tenkina pradinę lygtį bei jos apibrėžimo sąlygas.

Svarbu: kampus ir intervalo ribas išreikškite tais pačiais vienetais – laipsniais arba radianais. Neigiamų sprendinių nepaverskite teigiamais ir nesirinkite atsitiktinio periodo: sprendžia būtent nurodyto intervalo ribos.

Kosinusas lygus vienetui, kai jo argumentas yra sveikas pilnų apsisukimų skaičius. Išreikškite x, atrinkite nurodyto intervalo reikšmes ir sudėkite jas. Sudėkite x, o ne vidinio kampo reikšmes.

Atpažinkite dvigubo kampo sinuso arba vieną iš kosinuso formulių. Dvigubinamas visas skliaustuose esantis kampas, ne tik x.

Taikykite pagrindinę trigonometrinę tapatybę:

sin² α + cos² α = 1.

1. Perkelkite sin² α į kitą lygybės pusę: cos² α = 1 − sin² α.
2. Ištraukite kvadratinę šaknį: cos α = √(1 − sin² α).
3. Kadangi kampas α yra smailusis, jo kosinusas yra teigiamas, todėl pasirenkama teigiama šaknies reikšmė.
4. Gautą rezultatą suapvalinkite taip, kaip pateikti atsakymų variantai.