Šaknys ir racionalieji laipsniai

Dauginant vienodo pagrindo laipsnius rodikliai sudedami, o keliant laipsnį laipsniu – dauginami. Veiksmus su trupmeniniais rodikliais atlikite tiksliai ir sutrumpinkite rezultatą.

Viena šaknis iš kitos gali būti užrašyta kaip viena šaknis.

1. Sudauginkite išorinės ir vidinės šaknų laipsnius.
2. Iš pradinio skaičiaus ištraukite gauto laipsnio šaknį.
3. Patikrinkite atsakymą: pakėlus jį abiejų šaknų laipsnių sandaugos laipsniu turi būti gautas pradinis skaičius.

Taisyklė: n-tojo laipsnio šaknis iš m-tojo laipsnio šaknies iš skaičiaus yra (n × m)-tojo laipsnio šaknis iš to skaičiaus.

Iš šaknų iškelkite kvadratinius daugiklius ir sutrumpinkite bendras šaknis. Gautas trupmenas sudėkite naudodami bendrą vardiklį.

Realiųjų skaičių aibėje lyginio laipsnio šaknis apibrėžta tik tada, kai pošaknis yra neneigiamas, tai yra didesnis už nulį arba lygus nuliui.

Sąlyga: jei n yra lyginis, tai reiškiniui ⁿ√a turi galioti a ≥ 0.

• Kai a > 0, šaknis turi teigiamą realiąją reikšmę.
• Kai a = 0, šaknis lygi 0.
• Kai a < 0, lyginio laipsnio šaknis realiųjų skaičių aibėje neegzistuoja.

Taip yra todėl, kad bet kurį realųjį skaičių keliant lyginiu laipsniu gaunamas neneigiamas rezultatas.

Čia n yra duotasis teigiamas skaičius po šaknies ženklu. Norėdami panaikinti vardiklio iracionalumą, skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš √n.

1/√n · √n/√n = √n/n.

Taip vardiklyje lieka racionalus skaičius n.

Trupmeninis rodiklis ^m⁄_n reiškia, kad pirmiausia galima ištraukti n-tojo laipsnio šaknį, o tada rezultatą pakelti m-tuoju laipsniu.

Taisyklė: a^m/n = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m).

1. Pažiūrėkite į rodiklio vardiklį n – jis nurodo, kokio laipsnio šaknį reikia traukti.
2. Ištraukite n-tojo laipsnio šaknį iš pagrindo.
3. Gautą skaičių pakelkite rodiklio skaitiklio m nurodytu laipsniu.

Šiame klausime pagrindas parenkamas kaip tikslus n-tasis laipsnis, todėl šaknis išsitraukia be liekanos.

Pirmiausia apskaičiuokite teigiamą racionalųjį laipsnį: vardiklis nurodo šaknies laipsnį, skaitiklis – kėlimo laipsnį. Neigiamas rodiklis reiškia gauto dydžio atvirkštinį.

Dauginant dvi tos pačios eilės šaknis, po vienu šaknies ženklu galima sudauginti jų pošaknius:

Taisyklė: ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a · b).

1. Patikrinkite, kad abiejų šaknų rodiklis n yra vienodas.
2. Atpažinkite, kokie skaičiai, pakelti n-tuoju laipsniu, duoda pirmąjį ir antrąjį pošaknį.
3. Ištraukite abi šaknis ir gautus skaičius sudauginkite.

Šio klausimo pošakniai parenkami kaip tikslūs n-tieji laipsniai, todėl atsakymas yra sveikasis skaičius.

Skaitiklio pošaknis turi būti neneigiamas, o vardiklio pošaknis – teigiamas, nes vardiklis negali būti nulis. Raskite sandaugos ženklą intervaluose ir sujunkite abi sąlygas.